درسنامه آموزشی فصل سوم هندسه (2) کلاس یازدهم ریاضی

1- یک درخت کج از نقطهٔ $A$ روی زمین، که در فاصلهٔ 15 متری از نوک درخت است به زاویهٔ ${60^ \circ }$ دیده می‌شود. اگر فاصلهٔ $A$ تا پای درخت 20 متر باشد، مطلوب است:

الف) طول درخت

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A$

$B{C^2} = {20^2} + {15^2} - 2 \times 20 \times 15 \times \cos 60 \Rightarrow $

طول درخت $B{C^2} = 400 + 225 - 300 = 325\,\,,\,\,BC = \sqrt {325}  = 5\sqrt {13} \,\,(m)$

ب) سینوس زاویه‌ای که درخت با سطح زمین می‌سازد.

${15^2} = {20^2} + {(5\sqrt {13} )^2} - 2 \times 20 \times (5\sqrt {13} ).\cos B \Rightarrow 225 = 400 + 325 - 200\sqrt {13} \cos B \Rightarrow $

$200\sqrt {13} \cos B = 500 \Rightarrow \cos B = \frac{5}{{2\sqrt {13} }} \times \frac{{\sqrt {13} }}{{\sqrt {13} }} = \frac{{5\sqrt {13} }}{{26}} \simeq 0/69$

$\cos B \simeq 0/69 \to \hat B \simeq {46^ \circ }$

پ) فاصلهٔ نوک درخت از زمین

$\sin A = \frac{{CH}}{{AC}} \Rightarrow CH = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \times 15 = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}$

2- در مثلث متساوی‌الاضلاع $ABC$ به ضلع 8 واحد، نقطهٔ $D$، که به فاصلهٔ 7 واحد از رأس $A$ قرار دارد از $B$ و $C$ چه فاصله‌ای دارد؟ $(CD \gt BD)$ نقطهٔ $E$، که به فاصلهٔ 5 واحد از $C$ قرار دارد از $D$ به چه فاصله‌ای است؟ اندازهٔ زاویهٔ $AED$ چند درجه است؟

$A\mathop B\limits^\Delta  D\,,\,{7^2} = {8^2} + {x^2} - 2 \times 8 \times x \times \cos {60^ \circ }$

$49 = 64 + {x^2} - 8x \Rightarrow {x^2} - 8x + 15 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x - 5) = 0 \Rightarrow $

$ \Rightarrow DC = 8 - 3 = 5$  ق‌ق $\left\{ \begin{gathered}
  x = 3 \hfill \\
  x = 5 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\xrightarrow{{CD \gt BD}}x = 3\,$

برای به‌دست آوردن فاصله نقطه $E$ از $D$، دو روش مطرح می‌شود:

$\hat C = {60^ \circ } \Rightarrow \hat E = \hat D = \frac{{180 - 60}}{2} = {60^ \circ } \Rightarrow $ , متساوی الساقین $EC = DC = 5 \Rightarrow E\mathop D\limits^\Delta  C$

$ \Rightarrow ED = 5$ متساوی‌الساقین $E\mathop D\limits^\Delta  C$

3- یک کشتی از یک نقطه با سرعت 60 کیلومتر در ساعت در یک جهت در حرکت است و یک ساعت بعد با ${30^ \circ }$ انحراف به راست با سرعت 40 کیلومتر در ساعت به حرکت خود ادامه می‌دهد و یک ساعت و نیم پس از آغاز حرکتش در یک بندرگاه پهلو می‌گیرد. فاصلهٔ بندرگاه از مبدأ حرکت کشتی چند کیلومتر است؟

$d = V.t \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  AB = 60 \times 1 = 60km \hfill \\
  AC = 40 \times 0/5 = 20km \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC\,.\,AB\,.\,\cos {150^ \circ }$

$B{C^2} = {60^2} + {20^2} - 2 \times 60 \times 20 \times \cos (180 - 30) = 3600 + 400 + 2400 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$ = 4000 + 1200\sqrt 3  \Rightarrow BC = \sqrt {4000 + 1200\sqrt 3 }  \simeq 77/96$

4- در مثلث $ABC$، میانهٔ $AM$ را رسم کرده‌ایم $(MB = MC = \frac{a}{2})$. با نوشتن قضیهٔ کسینوس‌ها در دو مثلث $AMB$ و $AMC$، ${b^2}$ و ${c^2}$ را محاسبه، و با جمع کردن دو تساوی حاصل، درستی تساوی زیر را ثابت کنید:

(قضیهٔ میانه‌ها) ${b^2} + {c^2} = 2A{M^2} + \frac{{{a^2}}}{2}$

در حالت خاص $AB = 4$ و $AC = 6$ و $BC = 8$، طول میانه $AM$ را به‌دست آورید.

$\Delta AMC\,,\,{b^2} = A{M^2} + {(\frac{a}{2})^2} - 2 \times AM \times \frac{a}{2} \times \overbrace {\cos (180 - \alpha )}^{ - \cos \alpha }\,\,\,(1)$

$\Delta AMB\,,\,{c^2} = A{M^2} + {(\frac{a}{2})^2} - 2 \times AM \times \frac{a}{2} \times \cos \alpha \,\,(2)$

طرفین تساوی‌های 1 و 2 را با یکدیگر جمع می‌کنیم. اکنون داریم:

(قضیه میانه‌ها) ${b^2} + {c^2} = 2A{M^2} + \frac{{{a^2}}}{2}$

حالت خاص؛ $AB = 4$ و $AC = 6$ و $BC = 8$

${6^2} + {4^2} = 2A{M^2} + \frac{{{8^2}}}{2} \Rightarrow 36 + 16 = 2A{M^2} + 32 \Rightarrow 2A{M^2} = 20 \Rightarrow A{M^2} = 10 \Rightarrow AM = \sqrt {10} $

5- در مثلث $ABC$، نقطهٔ دلخواه $D$ روی $BC$ مفروض است. به کمک قضیهٔ کسینوس‌ها در دو مثلث $ADB$ و $ADC$ درستی تساوی زیر را ثابت کنید:

(قضیهٔ استوارت) $A{B^2}\,.\,DC + A{C^2}\,.\,DB = A{D^2}.\,BC + DB\,.\,DC.\,BC$

به کمک قضیهٔ استوارت، درستی قضیهٔ میانه‌ها را نتیجه‌گیری کنید.

$\Delta ADB\,,\,A{B^2} = A{D^2} + B{D^2} - 2AD.BD.\cos \alpha \,\,\,(1)$

$\Delta ADC\,,\,A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} - 2AD.DC.\underbrace {\cos (180 - \alpha )}_{ - \cos \alpha }\,\,\,(2)$

$A{B^2}\,.\,DC + A{C^2}.\,DB\,\,(2),(1)$

$(A{D^2} + B{D^2} - 2AD.BD.\cos \alpha ).DC + (A{D^2} + D{C^2} + 2AD.DC.\cos \alpha ).DB = $

$A{D^2}.DC + B{D^2}.DC - 2\cancel{{AD.BD}}.\cancel{{DC.\cos \alpha }} + A{D^2}.DB + D{C^2}.DB + 2\cancel{{AD.DC}}.DB.\cos \alpha  = $

$A{D^2}(DC + DB) + BD.DC(BD + DC) = A{D^2}.BC + BD.DC.BC$

به کمک قضیه استوارت، درستی قضیه میانه‌ها را نتیجه می‌گیریم، چون $AM$ میانه است پس $BM = MC = \frac{a}{2}$

$A{B^2}.MC + A{C^2}.MB = A{M^2}.BC + BM.MC.BC\xrightarrow{{BM = MC = \frac{a}{2}}}$ قضیه استوارت

${c^2}.\frac{a}{2} + {b^2}.\frac{a}{2} = A{M^2}.a + \frac{a}{2}.\frac{a}{2}.a \Rightarrow $

قضیه میانه‌ها:

$\cancel{{\frac{a}{2}}}({c^2} + {b^2}) = \cancel{{\frac{a}{2}}}(2.A{M^2} + \frac{{{a^2}}}{2}) \Rightarrow {b^2} + {c^2} = 2A{M^2} + \frac{{{a^2}}}{2}$

6- مسئلهٔ 2 را بار دیگر، این‌بار به کمک قضیهٔ استوارت حل کنید.

$:{8^2} \times DC + {8^2} \times BD = {7^2} \times 8 + BD\,.\,DC \times 8 \Rightarrow $ قضیه استوارت در مثلث $ABC$

${8^2}(\underbrace {DC + BD}_8) = {7^2} \times 8 + BD\,.\,(8 - BD) \times 8 \to  \div 8 \to $

$64 = 49 + 8BD - B{D^2} \Rightarrow B{D^2} - 8BD + 15 = 0 \Rightarrow $

$(BD - 3)(BD - 5) = 0 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
  {BD = 3} \\ 
  {BD = 5} 
\end{array}\underline{\underline {DC \gt BD}}  \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
  {BD = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\ 
  {DC = 8 - 3 = 5} 
\end{array}$

$:{5^2} \times 3 + {7^2} \times 5 = D{E^2} \times 8 + 3 \times 5 \times 8 \Rightarrow 75 + 245 = 8D{E^2} + 120 \Rightarrow $ RQ قضیه استوارت در مثلث $ADC$

$8D{E^2} = 200 \Rightarrow D{E^2} = \frac{{200}}{8} = 25 \Rightarrow DE = \sqrt {25}  = 5$